京都教育大学
2012年 教育学部 第5問

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  4. 2012年 - 教育学部 - 第5問
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関数f(x)=x^2-2に対して，y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))における接線とx軸との交点のx座標をg(a)とおく．ただし，a＞0とする．またx_1=4とし，n=1,2,3,・・・に対してx_{n+1}=g(x_n)とおく．次の問に答えよ．(1)y=f(x)のグラフ上の点(4,14)におけるグラフの接線の方程式を求めよ．(2)どのような自然数nに対してもx_n＞0であることを数学的帰納法によって証明せよ．(3)x_3を求めよ．(4)どのような自然数nに対してもx_{n+1}≧√2であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
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