九州大学
2010年 理系 第3問

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xy平面上に曲線y=\frac{1}{x^2}を描き,この曲線の第1象限内の部分をC_1,第2象限内の部分をC_2と呼ぶ.C_1上の点P_1(a,\frac{1}{a^2})からC_2に向けて接線を引き,C_2との接点をQ_1とする.次に点Q_1からC_1に向けて接線を引き,C_1との接点をP_2とする.次に点P_2からC_2に向けて接線を引き,接点をQ_2とする.以下同様に続けて,C_1上の点列P_nとC_2上の点列Q_nを定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)点Q_1の座標を求めよ.(2)三角形P_1Q_1P_2の面積S_1を求めよ.(3)三角形P_nQ_nP_{n+1}(n=1,2,3,・・・)の面積S_nを求めよ.(4)級数Σ_{n=1}^{∞}S_nの和を求めよ.
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