九州大学
2012年 理系 第4問

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  4. 2012年 - 理系 - 第4問
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pとqはともに整数であるとする．2次方程式x^2+px+q=0が実数解α,βを持ち，条件(|α|-1)(|β|-1)≠0をみたしているとする．このとき，数列{a_n}をa_n=(α^n-1)(β^n-1)(n=1,2,・・・)によって定義する．以下の問いに答えよ．(1)a_1,a_2,a_3は整数であることを示せ．(2)(|α|-1)(|β|-1)＞0のとき，極限値\lim_{n→∞}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|は整数であることを示せ．(3)\lim_{n→∞}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1+√5}{2}となるとき，pとqの値をすべて求めよ．ただし，√5が無理数であることは証明なしに用いてよい．
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