九州大学
2016年 理系 第3問

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座標平面上で円x^2+y^2=1に内接する正六角形で,点P_0(1,0)を1つの頂点とするものを考える.この正六角形の頂点をP_0から反時計まわりに順にP_1,P_2,P_3,P_4,P_5とする.ある頂点に置かれている1枚のコインに対し,1つのサイコロを1回投げ,出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす.\setlength{skip}{16mm}\mon[(規則)(i)]1から5までの目が出た場合は,出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす.例えば,コインがP_4にあるときに4の目が出た場合はP_2まで動かす.(ii)6の目が出た場合は,x軸に関して対称な位置にコインを動かす.ただし,コインがx軸上にあるときは動かさない.例えば,コインがP_5にあるときに6の目が出た場合はP_1に動かす.はじめにコインを1枚だけP_0に置き,1つのサイコロを続けて何回か投げて,1回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える.以下の問いに答えよ.(1)2回サイコロを投げた後に,コインがP_0の位置にある確率を求めよ.(2)3回サイコロを投げた後に,コインがP_0の位置にある確率を求めよ.(3)nを自然数とする.n回サイコロを投げた後に,コインがP_0の位置にある確率を求めよ.
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