九州大学
2016年 文系 第3問

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袋の中に,赤玉が15個,青玉が10個,白玉が5個入っている.袋の中から玉を1個取り出し,取り出した玉の色に応じて,以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える.\setlength{skip}{8mm}\mon[(操作)]コインが点(x,y)にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点(x+1,y)に移動,青玉を取り出したときには点(x,y+1)に移動,白玉を取り出したときには点(x-1,y-1)に移動し,取り出した球は袋に戻す.最初に原点(0,0)にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)操作をn回繰り返したとき,白玉を1度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.(2)操作をn回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.(3)座標平面上の4点(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)を頂点とする正方形Dを考える.操作をn回繰り返したとき,到達点がDの内部または辺上にある確率をP_nとする.P_3を求めよ.(4)自然数Nに対してP_{3N}を求めよ.
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