九州大学
2016年 文系 第3問

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  4. 2016年 - 文系 - 第3問
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袋の中に，赤玉が15個，青玉が10個，白玉が5個入っている．袋の中から玉を1個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．\setlength{skip}{8mm}\mon[（操作）]コインが点(x,y)にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点(x+1,y)に移動，青玉を取り出したときには点(x,y+1)に移動，白玉を取り出したときには点(x-1,y-1)に移動し，取り出した球は袋に戻す．最初に原点(0,0)にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．(1)操作をn回繰り返したとき，白玉を1度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．(2)操作をn回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．(3)座標平面上の4点(1,1)，(-1,1)，(-1,-1)，(1,-1)を頂点とする正方形Dを考える．操作をn回繰り返したとき，到達点がDの内部または辺上にある確率をP_nとする．P_3を求めよ．(4)自然数Nに対してP_{3N}を求めよ．
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