九州大学
2012年 理系 第2問

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  4. 2012年 - 理系 - 第2問
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2次の正方行列A,Bはそれぞれ\begin{eqnarray}A(\begin{array}{r}-3\\5\end{array})=(\begin{array}{r}0\\-1\end{array}),&&A(\begin{array}{r}7\\-9\end{array})=(\begin{array}{r}8\\-11\end{array}),\nonumber\\B(\begin{array}{r}0\\-1\end{array})=(\begin{array}{r}-5\\6\end{array}),&&B(\begin{array}{r}8\\-11\end{array})=(\begin{array}{r}-7\\10\end{array})\nonumber\end{eqnarray}をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，Eは2次の単位行列を表すものとする．(1)行列A,B,A^2,B^2を求めよ．(2)(AB)^3=Eであることを示せ．(3)行列Aから始めて，BとAを交互に右から掛けて得られる行列A,AB,ABA,ABAB,・・・および行列Bから始めて，AとBを交互に右から掛けて得られる行列B,BA,BAB,BABA,・・・を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．
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