九州工業大学
2014年 工学部 第3問

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  4. 2014年 - 工学部 - 第3問
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関数s(t)はつねにs´(t)＞0をみたし，s(0)=0とする．座標平面上を運動する点Pの座標(x,y)は，時刻tの関数としてx=s(t)，y=1/2{s(t)}^2で与えられ，点Pの速度ベクトルv=(dx/dt,dy/dt)は|ベクトルv|=\frac{1}{\sqrt{1+{s(t)}^2}}をみたすとする．また，α=s(-4/3)，β=s(4/3)とおく．次に答えよ．(1)dx/dt=f(x)が成り立つように関数f(x)を定めよ．(2)4/3=∫_{-4/3}^0\frac{1}{f(x)}dx/dtdt，4/3=∫_0^{4/3}\frac{1}{f(x)}dx/dtdtを用いて，αとβの値を求めよ．(3)\frac{d^2x}{dt^2}=g(x)が成り立つように関数g(x)を定めよ．また，α≦x≦βのときg(x)が最大となるxの値を求めよ．
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