九州工業大学
2016年 工学部 第2問

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  4. 2016年 - 工学部 - 第2問
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s＞0，t＞0とする．正の数からなる2つの数列{a_n}，{b_n}は初項と第2項がa_1=b_1=s，a_2=b_2=tであり，すべての自然数nに対してa_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n}をみたすとする．次に答えよ．(1)a_3,b_3,a_4,b_4をs,tを用いて表せ．(2)自然数nに対して，c_n=a_{n+1}-a_nとおく．数列{c_n}は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列{a_n}の一般項を求めよ．(3)自然数nに対して，d_n=logb_nとおく．数列{d_n}の一般項を求めよ．さらに，数列{b_n}の一般項をsの累乗とtの累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．(4)\lim_{n→∞}a_nと\lim_{n→∞}b_nを求めよ．(5)t=sは\lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}b_nであるための必要十分条件であることを示せ．
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