九州工業大学
2010年 工学部 第4問

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  4. 2010年 - 工学部 - 第4問
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次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，1.09＜log3＜1.10を用いてよい．(1)すべてのx＞0に対して，不等式x-\frac{x^2}{2}＜log(1+x)が成り立つことを示せ．(2)関数f(x)=x-\frac{x^2}{3}-log(1+x)の0≦x≦2における最大値，および最小値を求めよ．(3)方程式x-\frac{x^2}{3}=log(1+x)は0＜x＜2の範囲に解を1つだけもつことを示せ．(4)(3)における解をα(0＜α＜2)とする．曲線y=x-\frac{x^2}{3}と曲線y=log(1+x)で囲まれた図形(0≦x≦αの部分)の面積をSとする．また，曲線y=x-\frac{x^2}{3}，y=log(1+x)と直線x=2で囲まれた図形(α≦x≦2の部分)の面積をTとする．SとTの大小を比較せよ．
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