前橋工科大学
2016年 工学部 第1問

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  4. 2016年 - 工学部 - 第1問
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n=0,1,2,・・・に対して，a_n=2^nとする．自然数Nに対して，a_0,a_1,・・・,a_Nから重複なしにいくつかを選んで和をとるという操作を考える．例えば，N=1のときには，この操作によって自然数1,2,3を作ることができる（1=a_0,2=a_1,3=a_0+a_1）．次の問いに答えなさい．(1)N=2のとき，7以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は2^{N+1}-1であることを示しなさい．(3)自然数Nに対して，2^{N+1}-1以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．(4)この操作によって253を作ることのできる最小のNの値を求めなさい．
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