聖マリアンナ医科大学医学部 2015年問題2

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$xy平面上に2点P_1(1,1)，P_2(1,2)があり，以下の条件(i)，(ii)，(iii)をすべて満たすようにP_3(x_3,y_3)，P_4(x_4,y_4)，P_5(x_5,y_5)，・・・を定めるものとする．(i)|\overrightarrow{P_{n-1}P_n}|=1/3|\overrightarrow{P_{n-2}P_{n-1}}|(n=3,4,5,・・・)(ii)∠P_{n-2}P_{n-1}P_n=π/4(n=3,4,5,・・・)(iii)x_n≧x_{n-1}(n=3,4,5,・・・)このとき，以下の問いに答えなさい．(1)ベクトル\overrightarrow{P_3P_4}を成分で表しなさい．(2)ベクトル\overrightarrow{P_{2k-1}P_{2k}}(k=1,2,3,・・・)の成分をkを用いた式で表しなさい．(3)ベクトル\overrightarrow{P_{2k}P_{2k+1}}(k=1,2,3,・・・)の成分をkを用いた式で表しなさい．(4)\lim_{n→∞}x_n=X，\lim_{n→∞}y_n=Yとおく．このときnを限りなく大きくすると，点P_nは点P(X,Y)に限りなく近づいていく．X,Yを求めなさい．$