明治大学
2011年 全学部 第3問

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  4. 2011年 - 全学部 - 第3問
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空欄[オ]，[カ]，[キ]に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる0から9までの数字を入れよ．座標平面上に3つの放物線C_1:y=x^2，C_2:y=-x^2-8x-8，C_3:y=-x^2+ax+bがある．C_1とC_3はt＞0の範囲にただ1つの共有点(t,t^2)を持ち，直線ℓは点PでC_2に接し，なおかつ点QでC_3に接しているとする．次の問に答えよ．(1)C_1とC_2の共有点は(-[ア],[イ])である．また，C_1とC_3もただ1つの共有点を持つことからa=[ウ]t，b=-[エ]t^2である．(2)点P，Qのx座標をそれぞれα，βとする．ℓは点PにおけるC_2の接線および点QにおけるC_3の接線に等しい．これら2つの接線の傾きおよびy軸との交点がともに等しいことからβ-α=[オ],β^2-α^2=[カ]が成り立つ．したがって，β+α=[キ]である．これより，直線ℓの方程式はy=(t-[ク])x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]}である．(3)C_3とx軸によって囲まれる部分の面積をS_1，C_1と直線ℓによって囲まれる部分の面積をS_2とすると，S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}・[ソ]t^3S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}・(t+[タ])^3である．S_1-S_2はt=\frac{[チ]+[ツ]\sqrt{[テ]}}{[ト]}のときに最小値をとる．オ，カ，キの解答群\begin{array}{lllll}\nagamarureit+2&\nagamaruichit-2&\nagamaruni2t+4&\nagamarusant+√2&\nagamarushit-√2\\nagamarugot^2-2&\nagamarurokut^2-4&\nagamarushichit^2-8&\nagamaruhachi2t^2-4&\nagamarukyu2t^2-8\end{array}（プレビューでは図は省略します）
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試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。
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