明治大学政治経済学部 2012年問題3

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$xy平面上の曲線C:y=x^2上に，原点Oと異なる2つの点P(s,s^2)，Q(t,t^2)がある．ただし，s≠tとする．曲線C上のP，Qにおけるそれぞれの接線をℓ_1，ℓ_2とし，ℓ_1，ℓ_2のx軸との交点をそれぞれP_0，Q_0とする．このとき，次の各設問の[]にふさわしい解を求め，解答欄に記入せよ．(1)P_0の座標は([],[])となり，Q_0の座標は([],[])となる．(2)ℓ_1とℓ_2の交点Rの座標は([],[])である．(3)P_0，Q_0，Rを通る円の方程式を(x-a)^2+(y-b)^2=c^2・・・・・・①とおく．円の方程式①がP_0，Q_0を通ることと，P_0≠Q_0であることからs+t=[]・・・・・・②となる．(4)円の方程式①がP_0とRを通ることと，②とs≠0であることから，s,t,a,bの満たす式は\fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0・・・・・・③となる．同じくQ_0とRを通ることと，②とt≠0であることから，s,t,a,bの満たす式は\fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0・・・・・・④となる．②，③，④より，a≠0のときst=\fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}・・・・・・⑤を得る．同じくa=0のときも⑤が成り立つことがわかる．(5)円の方程式①がRを通ることをa,b,cを用いて表わすと\fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}・・・・・・⑥となる．このことは，①が定点([],[])を通ることを意味する．$