明治大学政治経済学部 2015年問題1

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$次の各問の[]にあてはまる数を各解答群から選べ．同一のものを何回使用してもよい．(1)白玉2個，赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し，色を調べてから元に戻すことを5回続けて行うとき，ちょうど4回白玉が出る確率は，\frac{[ア]}{[イ]}である．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&1&\qquad\nagamaruB&2&\qquad\nagamaruC&3&\qquad\nagamaruD&4&\qquad\nagamaruE&5\\nagamaruF&9&\qquad\nagamaruG&10&\qquad\nagamaruH&27&\qquad\nagamaruI&81&\qquad\nagamaruJ&243\end{array}(2)\frac{x+y}{3}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{7}(≠0)のとき\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}の値は\frac{[ア][イ]}{[ウ]}である．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&0&\qquad\nagamaruB&1&\qquad\nagamaruC&2&\qquad\nagamaruD&3&\qquad\nagamaruE&4\\nagamaruF&5&\qquad\nagamaruG&6&\qquad\nagamaruH&7&\qquad\nagamaruI&8&\qquad\nagamaruJ&9\end{array}(3)0°≦θ≦{180}°のとき，関数y=2sin^2θ+3cosθ+1/8の最大値は\frac{[ア][イ]}{[ウ]}で，そのとき，tanθ=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}である．また，最小値は，-\frac{[カ][キ]}{[ク]}で，そのとき，tanθ=[ケ]である．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&0&\qquad\nagamaruB&1&\qquad\nagamaruC&2&\qquad\nagamaruD&3&\qquad\nagamaruE&4\\nagamaruF&5&\qquad\nagamaruG&6&\qquad\nagamaruH&7&\qquad\nagamaruI&8&\qquad\nagamaruJ&9\end{array}(4)関数f(x)=(log_22x)^2+log_2(2x)^3+log_2x+2は，x=\frac{[ア]}{[イ]}のとき，最小値-[ウ]をとる．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&0&\qquad\nagamaruB&1&\qquad\nagamaruC&2&\qquad\nagamaruD&3&\qquad\nagamaruE&4\\nagamaruF&5&\qquad\nagamaruG&6&\qquad\nagamaruH&7&\qquad\nagamaruI&8&\qquad\nagamaruJ&9\end{array}(5)一般項がX_n=100+3n，Y_n=50+2X_nで与えられる数列{X_n}，{Y_n}に対して\frac{Σ_{k=1}^{30}(X_k-A)Y_k}{Σ_{k=1}^{30}(X_k-A)^2}\bigg(　ただし，　A=\frac{Σ_{k=1}^{30}X_k}{30}\bigg)の値を求めることを考える．ここでZ_k=\frac{X_k-A}{Σ_{k=1}^{30}(X_k-A)^2}とおくと，与式はZ_kを用いてΣ_{k=1}^{30}Z_kY_kと書き換えられる．ところがΣ_{k=1}^{30}Z_k=[ア],Σ_{k=1}^{30}Z_kX_k=[イ]であるので，与式の値は[ウ]となる．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&0&\qquad\nagamaruB&1&\qquad\nagamaruC&2&\qquad\nagamaruD&3&\qquad\nagamaruE&4\\nagamaruF&5&\qquad\nagamaruG&6&\qquad\nagamaruH&7&\qquad\nagamaruI&8&\qquad\nagamaruJ&9\end{array}\mon△OABにおいて，OA=8，AB=7，OB=6とし，その重心をG，内接円の中心（内心）をIとすると，GIとABが平行であることを次のように証明する．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとすると，ベクトルOG=\frac{1}{[ア]}(ベクトルa+ベクトルb)である．また，∠AOBの2等分線とABの交点をCとすると，ベクトルOC=\frac{[イ]ベクトルa+[ウ]ベクトルb}{[エ]}である．さらにベクトルOI=\frac{[オ]ベクトルa+[カ]ベクトルb}{[キク]}からベクトルGI=\frac{-ベクトルa+ベクトルb}{[キク]}=\frac{ベクトルAB}{[キク]}となり，GIとABが平行であることが証明された．\langle\!\langle解答群\rangle\!\rangle\begin{array}{lclclclclc}\nagamaruA&0&\qquad\nagamaruB&1&\qquad\nagamaruC&2&\qquad\nagamaruD&3&\qquad\nagamaruE&4\\nagamaruF&5&\qquad\nagamaruG&6&\qquad\nagamaruH&7&\qquad\nagamaruI&8&\qquad\nagamaruJ&9\end{array}$