首都大学東京
2010年 都市教養(文系) 第2問

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原点をOとする座標平面上のベクトルベクトルOAとベクトルOBは|ベクトルOA|=\sqrt{17},|ベクトルOB|=\sqrt{10}を満たし,ベクトルOAとベクトルOBのなす角θがcosθ=-\frac{13}{\sqrt{170}}を満たしている.ベクトルベクトルu,ベクトルvをベクトルu=\frac{ベクトルOA+ベクトルOB}{2},ベクトルv=\frac{ベクトルOA-ベクトルOB}{2}で定める.このとき,以下の問いに答えなさい.(1)長さ|ベクトルu|,|ベクトルv|と内積ベクトルu・ベクトルvを求めなさい.(2)実数tに対してベクトルOP=tベクトルu+(1-t)ベクトルvとおく.長さ|ベクトルOP|を最小にするtの値を求めなさい.また,そのときの長さ|ベクトルOP|を求めなさい.
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