三重大学
2013年 人文学部 第4問

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  4. 2013年 - 人文学部 - 第4問
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正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする．nを正の整数として，Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をα_n，Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβ_nとする．このとき，Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も，Dに到達する経路の数もβ_nとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただしα_0=1，β_0=0とする．(1)α_2,β_2,α_2+3β_2,α_3,β_3,α_3+3β_3を求めよ．(2)n≧1に対しα_n,β_nをα_{n-1},β_{n-1}で表せ．(3)c_n=α_n-β_nとおいてc_nの一般項を求めよ．(4)α_nの一般項を求めよ．
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