三重大学
2010年 医学部 第4問

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  4. 2010年 - 医学部 - 第4問
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Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ．(1)p,qを実数としq≠0とする．\biggl(\begin{array}{cc}p&q\\0&p\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}p&q\\0&p\end{array}\biggr)ならば，XはX=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ．(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\biggr)のとき，自然数nに対しX^n=\biggl(\begin{array}{cc}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\biggr)となることを数学的帰納法により示せ．ただしa^0=1とする．(3)m,nを自然数とする．Xの各成分は0以上の整数で，さらにX^{n+1}-X^n=\biggl(\begin{array}{cc}2^{m+1}&2^{50}\\0&2^{m+1}\end{array}\biggr)を満たすものとする．このような行列Xが存在するような組(m,n)をすべて求めよ．
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