宮城教育大学
2013年 教育学部(その他) 第3問

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空間内に1辺の長さが1の正四面体ABCDと点Oがあり,|ベクトルAO|=|ベクトルBO|=|ベクトルCO|=|ベクトルDO|を満たしている.ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc,ベクトルAD=ベクトルdとおくとき,次の問いに答えよ.(1)空間内の点Pについて,l,m,nを実数とし,ベクトルAP=lベクトルb+mベクトルc+nベクトルdとする.このとき,|ベクトルAP|^2,|ベクトルBP|^2をそれぞれl,m,nを用いて表せ.また,|ベクトルAP|^2=|ベクトルBP|^2であるための必要十分条件をl,m,nを用いて表せ.(2)ベクトルAO=1/4(ベクトルb+ベクトルc+ベクトルd)であることを示せ.(3)線分BCを1:4に内分する点をEとする.3点A,C,Dを通る平面と直線EOとの交点をFとするとき,ベクトルAFをベクトルc,ベクトルdを用いて表せ.
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