宮城教育大学
2018年 教育学部（中等数学） 第3問
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![数列{a_n}，{b_n}を\begin{array}{l}a_1=1,b_1=0,\phantom{\frac{2}{[]}}\a_{n+1}=1/3a_n-2/3b_n,b_{n+1}=2/3a_n+1/3b_n(n=1,2,3,・・・)\end{array}により定義する．iを虚数単位として，r＞0と0＜θ＜π/2を\frac{1+2i}{3}=r(cosθ+isinθ)が成り立つように定める．次の問に答えよ．(1)rの値を求めよ．(2)数学的帰納法を用いてa_n+b_ni=(\frac{1+2i}{3})^{n-1}(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．(3)複素数zに対して，z≠1ならば1+z+z^2+・・・+z^{n-1}=\frac{1-z^n}{1-z}(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．(4)無限級数Σ_{n=1}^{∞}a_nの和を求めよ．](./thumb/53/0/2018_3.png?1)
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