宮崎大学
2010年 工学部 第5問

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  4. 2010年 - 工学部 - 第5問
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定積分I_n=∫_1^{√e}(logx)^ndx(n=1,2,3,・・・)について，次の各問に答えよ．(1)I_1の値を求めよ．(2)等式I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)I_n(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．(3)すべての自然数nについて，等式I_n=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}^n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)^mが成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．
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