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曲線y=logxの接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して,次の問いに答えよ.以下,kは自然数とする.(1)点A_k(k,0)を通りx軸に垂直な直線と曲線y=logxとの交点を{A_k}´とし,{A_k}´におけるこの曲線の接線をℓ_kとする.また,k≧2のとき,B_k(k-1/2,0),C_k(k+1/2,0)を通りx軸に垂直な直線と接線ℓ_kとの交点をそれぞれ{B_k}´,{C_k}´とする.四角形B_kC_k{C_k}´{B_k}´の面積を求めよ.(2)次の2つの値の大小を比較せよ.(i)logkと∫_{k-1/2}^{k+1/2}logxdx(ただし,k≧2)(ii)\frac{logk+log(k+1)}{2}と∫_k^{k+1}logxdx(ただし,k≧1)(3)a_n=log(n!)-1/2lognとおくと,2以上の自然数nについて,次の不等式が成り立つことを示せ.∫_{3/2}^nlogxdx<a_n<∫_1^nlogxdx(4)2以上の自然数nについて{\begin{array}{l}U_n=(n+1/2)logn-n+3/2(1-log3/2)\\V_n=(n+1/2)logn-n+1\end{array}.とおくとき,次の不等式を示せ.U_n<log(n!)<V_n
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