長崎大学
2013年 理系 第3問

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  4. 2013年 - 理系 - 第3問
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nを2以上の整数とする．n個の実数a_1,a_2,・・・,a_nが与えられたとき，P_n=(a_1+a_2+・・・+a_n)^2,Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+・・・+{a_n}^2とおく．次に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対するa_ia_jの和をR_nとする．たとえば，R_2=a_1a_2，R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3である．同様に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対する(a_i-a_j)^2の和をS_nとする．たとえば，S_2=(a_1-a_2)^2，S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2である．次の問いに答えよ．(1)P_4をQ_4とR_4を使って表せ．(2)すべてのn≧2に対してS_n=(n-1)Q_n-2R_nと表されることを，数学的帰納法で証明せよ．(3)Q_4をP_4とS_4を使って表せ．(4)a_1+a_2+a_3+a_4=1のとき，Q_4の最小値と，そのときのa_1,a_2,a_3,a_4の値をそれぞれ求めよ．
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コメント（1件）
2015-09-12 17:48:12

解答よろしくお願いします。

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