長崎大学
2016年 医学部 第3問

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  4. 2016年 - 医学部 - 第3問
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関数f(x)=xe^xで定まる曲線C:y=f(x)を考える．pを正の数とする．以下の問いに答えよ．(1)f´(x)とf^{\prime\prime}(x)を求めよ．また，すべてのxについて{(ax+b)e^x}´=f(x)が成り立つような定数a,bの値を求めよ．(2)曲線C上の点P(p,f(p))におけるCの接線をℓ:y=c(x-p)+dとする．cとdの値をpを用いて表せ．さらに，区間x≧0において関数g(x)=f(x)-{c(x-p)+d}の増減を調べ，不等式f(x)≧c(x-p)+d(x≧0)が成り立つことを示せ．(3)x≧0の範囲で，曲線Cと接線ℓ，およびy軸で囲まれた図形をFとする．その面積S(p)を求めよ．(4)2辺がx軸，y軸に平行な長方形Rを考える．Rが図形Fを囲んでいるとき，Rの面積の最小値T(p)を求めよ．さらに，\lim_{p→∞}\frac{S(p)}{T(p)}を求めよ．
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