長崎大学教育・薬学部 2017年問題4

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$放物線C:y=x^2と定点A(0,1)，B(0,2)およびC上の第1象限の点P_1(2,4)が与えられている．自然数n=1,2,3,・・・について，以下の操作をくり返す．\begin{jituwaku}C上の第1象限の点P_n(p_n,{p_n}^2)に対し，\setlength{skip}{14mm}\mon[{\bf手順1}]直線P_nAとCとの交点のうち，第2象限にあるものをQ_n(q_n,{q_n}^2)とし，\mon[{\bf手順2}]直線Q_nBとCとの交点のうち，第1象限にあるものをP_{n+1}(p_{n+1},{p_{n+1}}^2)とする．\end{jituwaku}このとき，以下の問いに答えよ．(1)aを定数とする．直線y=ax+1とCとの交点のうち，第1象限にあるものをP(p,p^2)，第2象限にあるものをQ(q,q^2)とする．このとき，pq=-1が成り立つことを示せ．また，点Q_1の座標を求めよ．(2)点P_2，Q_2およびP_3の座標を求めよ．(3)数列{p_n}および数列{q_n}の一般項をそれぞれ求めよ．(4)x≧0の範囲において，Cと直線P_nQ_nおよびy軸で囲まれた図形の面積S_nを求めよ．さらに，極限値\lim_{n→∞}\frac{S_{n+1}}{S_n}を求めよ．$