長崎大学
2010年 理系 第5問

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  4. 2010年 - 理系 - 第5問
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a,bをa＞b＞0を満たす定数とし，{\begin{array}{l}a_1=a,a_{n+1}=a_n^2+b_n^2(n=1,2,3,・・・)\\b_1=b,b_{n+1}=2a_nb_n(n=1,2,3,・・・)\end{array}.で定義される数列{a_n},{b_n}を考える．次の問いに答えよ．(1)数列{c_n}をc_n=a_n+b_n(n=1,2,3,・・・)により定義するとき，その一般項c_nをa,bを用いて表せ．(2)数列{a_n},{b_n}の一般項a_n,b_nをa,bを用いて表せ．(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{b_n}{a_n}が存在するかどうかを調べ，存在する場合はその値を求めよ．(4)無限級数Σ_{n=1}^∞a_nが収束するとき，a+b＜1が成り立つことを証明せよ．
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