名古屋市立大学
2013年 薬学部 第2問

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  4. 2013年 - 薬学部 - 第2問
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逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x_1,y_1)およびQ(x_2,y_2)がそれぞれP´({x_1}´,{y_1}´)およびQ´({x_2}´,{y_2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|^2=|\overrightarrow{P´Q´}|^2であるための必要十分条件は，A^TA=E\qquad・・・・・・(*)であることを示せ．ただし，A^TはAの行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，A^T=(\begin{array}{cc}a&c\b&d\end{array})である．また，Eは単位行列である．(2)原点のまわりの回転移動およびx軸に関する対称移動の1次変換を，それぞれ，fおよびgとする．これらの1次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件(*)を満たすことを確かめよ．(3)(2)で考えた1次変換fおよびgを表す行列をそれぞれFおよびGとし，A=FGF^{-1}で定義される行列Aによって表される1次変換を考える．この変換によって直線y=mx上の任意の点がそれ自身に移されるとき，Aを実数mを用いて表せ．ただし，F^{-1}はFの逆行列を表す．(4)(1)で考えた点P，Q，P´，Q´の座標を用いて，S=x_1y_2-y_1x_2およびS^{\prime}={x_1}´{y_2}´-{y_1}´{x_2}´を定義する．P，QからP´，Q´への変換を表す行列が(3)で求めたAで与えられるとき，SとS´の関係式を求めよ．
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