名古屋市立大学
2017年 薬学部 第2問

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  4. 2017年 - 薬学部 - 第2問
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xy平面上の曲線C:y=f(x)に関し，以下の問いに答えよ．ただし，f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}である．(1)f(x)は以下の関係式を満たすことを示せ．(i){f(x)}^2-{f´(x)}^2=1(ii)f^{\prime\prime}(x)=f(x)ただし，f´(x)およびf^{\prime\prime}(x)は，それぞれ，f(x)のxに関する1階および2階の導関数を表す．(2)曲線C上の点A(a,f(a))と点B(0,f(0))の間の曲線の長さLを求めよ．ただし，aはa≧0を満たす定数である．(3)点Aにおける曲線Cの接線上に点P(X,Y)をAPの距離がLに等しくなるようにとる．ただし，X≦aとする．このとき，XおよびYを，aを用いて表せ．(4)点Aを動かしたときに点Pの描く曲線をDとする．a＞0のとき，曲線Cの点Aにおける接線と曲線Dの点Pにおける接線は常に直交することを示せ．
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