奈良県立医科大学
2012年 医学部 第4問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第4問
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整数mが与えられたとき，xに関する整数係数の2つの整式f(x)，g(x)が関係式f(x)\equivg(x)±odmを満たすとは，等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである．(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする．もし，ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm，かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば，関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm，かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ．(2)正整数p(＞1)を素数とする．pより小さい任意の正整数iに対して二項係数\comb{p}{i}はpの倍数であることを証明せよ．(3)正整数p(＞1)を素数とする．任意の正整数nについて，関係式(1+x)^{p^n}\equiv1+x^{p^n}±odpが満たされることを証明せよ．(4)正整数p(＞1)を素数とし，nを2以上の正整数とする．n-1個の二項係数\comb{n}{i}(1≦i≦n-1)がすべてpの倍数であるための必要十分条件は，整数nが素数pの正べきである（すなわち，適当な正整数kを用いてn=p^kと表せる）ことを証明せよ．
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