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整数mが与えられたとき,xに関する整数係数の2つの整式f(x),g(x)が関係式f(x)\equivg(x)±odmを満たすとは,等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである.(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする.もし,ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm,かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば,関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm,かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ.(2)正整数p(>1)を素数とする.pより小さい任意の正整数iに対して二項係数\comb{p}{i}はpの倍数であることを証明せよ.(3)正整数p(>1)を素数とする.任意の正整数nについて,関係式(1+x)^{p^n}\equiv1+x^{p^n}±odpが満たされることを証明せよ.(4)正整数p(>1)を素数とし,nを2以上の正整数とする.n-1個の二項係数\comb{n}{i}(1≦i≦n-1)がすべてpの倍数であるための必要十分条件は,整数nが素数pの正べきである(すなわち,適当な正整数kを用いてn=p^kと表せる)ことを証明せよ.
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