奈良県立医科大学
2011年 医学部 第4問

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  4. 2011年 - 医学部 - 第4問
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xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし，円Sの任意の点Pに対して，点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく．A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし，Aによって定まるxy平面の一次変換(\begin{array}{c}x´\y´\end{array})=A(\begin{array}{c}x\y\end{array})を\varphiとおく．このとき，円Sの任意の点Pに対して円Sの点Qが存在し，接線L(P)のいかなる点も\varphiによって接線L(Q)の点に移されると仮定する．(1)円Sの点Pの座標を(s,t)として，接線L(P)の方程式を求めよ．(2)行列Aは逆行列を持つことを証明せよ．(3)円Sの点Qは円Sの点Pにより一意的に定まることを示し，点Qの座標(u,v)を点Pの座標(s,t)及び行列Aの成分a,b,c,dを用いて表示せよ．(4)xy平面の一次変換\varphiは，原点O(0,0)を中心とする回転か，または原点O(0,0)を通るある直線ℓを対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．
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