日本女子大学
2012年 家政学部 第4問

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  4. 2012年 - 家政学部 - 第4問
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A，Bの2人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．A，Bのどちらかが2回多く勝った時点でゲームは終了とする．1回のじゃんけんでAが勝つ確率，Bが勝つ確率，あいこの確率はいずれも1/3である．自然数nに対して，じゃんけんをn回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率をp_nとおく．また，じゃんけんをn回行った時点でA，Bのどちらかが1回多く勝っている確率をq_nとおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率をr_nとおく．以下の問いに答えよ．(1)p_1,q_1およびr_1の値を求めよ．(2)n≧2のとき，p_nをq_{n-1}を用いて表せ．(3)n≧2のとき，q_n,r_nのそれぞれをq_{n-1}とr_{n-1}を用いて表せ．(4)n≧2のときq_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})を満たす実数k,lの値を2組求めよ．(5)(4)で求めたk,lの値の2組をk_1,l_1とk_2,l_2とおく．ただしk_1＜k_2とする．数列{q_n+k_1r_n}，数列{q_n+k_2r_n}，数列{q_n}，数列{r_n}の一般項をそれぞれl_1,l_2およびnを用いて表せ．\mon数列{p_n}の一般項をl_1,l_2およびnを用いて表せ．
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