お茶の水女子大学
2016年 理（数学科） 第4問

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  4. 2016年 - 理（数学科） - 第4問
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サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．(1)サイコロを1回だけ振ることができるときの得点の期待値E_1を求めよ．(2)サイコロを2回まで振ることができるとき，1回目にm以上の目が出たらそこでやめ，mより小さい目が出たら2回目を振ることにする．このときの得点の期待値E_2(m)をmを用いて表し，E_2(m)が最大となるmを求めよ．(3)nを2以上の自然数，m_1,・・・,m_{n-1}を6以下の自然数とする．n回までサイコロを振ることができるとき，i回目にm_{n-i}以上の目が出たらそこでやめ，m_{n-i}より小さい目が出たらi+1回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，n回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値をE_n(m_1,・・・,m_{n-1})とする．以下の問いに答えよ．(i)E_3(m_1,m_2)をE_2(m_1)，m_2を用いて表し，E_3(m_1,m_2)が最大となるm_1,m_2とそのときのE_3(m_1,m_2)の値を求めよ．(ii)n≧4とする．E_{n-1}(m_1,・・・,m_{n-2})の最大値をe_{n-1}とすると，E_n(m_1,・・・,m_{n-1})が最大となるのは，E_{n-1}(m_1,・・・,m_{n-2})がe_{n-1}となり，かつm_{n-1}がe_{n-1}以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．ただし，得点がkとなる確率をp(k)としたとき，p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6)を得点の期待値とよぶ．
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