お茶の水女子大学
2018年 物理・情報科学 第2問

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正の定数aと負でない整数kに対して,I_k(t)=∫_0^tx^ke^{-ax}dxとおく.ただし,k=0のときはI_0(t)=∫_0^te^{-ax}dxと定める.以下の問いに答えよ.(1)t→∞のときI_0(t)が収束することを示し,\lim_{t→∞}I_0(t)の値をaを用いて表せ.(2)I_{k+1}(t)をI_k(t)とa,t,kを用いて表せ.(3)t→∞のときI_k(t)が収束することを示し,\lim_{t→∞}I_k(t)の値をaとkを用いて表せ.ただし,\lim_{t→∞}t^{k+1}e^{-at}=0となることは用いてよい.
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