大阪大学
2010年 理系 第5問

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  4. 2010年 - 理系 - 第5問
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nを0以上の整数とする．立方体ABCD-EFGHの頂点を，以下のように移動する2つの動点P，Qを考える．時刻0にはPは頂点Aに位置し，Qは頂点Cに位置している．時刻nにおいて，PとQが異なる頂点に位置していれば，時刻n+1には，Pは時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移り，Qも時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻nにおいて，PとQが同じ頂点に位置していれば，時刻n+1にはPもQも時刻nの位置からは移動しない．(1)時刻1において，PとQが異なる頂点に位置するとき，PとQはどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．(2)時刻nにおいて，PとQが異なる頂点に位置する確率r_nを求めよ．(3)時刻nにおいて，PとQがともに上面ABCDの異なる頂点に位置するか，またはともに下面EFGHの異なる頂点に位置するかのいずれかである確率をp_nとする．また，時刻nにおいて，PとQのいずれか一方が上面ABCD，他方が下面EFGHにある確率をq_nとする．p_{n+1}を，p_nとq_nを用いて表せ．(4)\lim_{n→∞}\frac{q_n}{p_n}を求めよ．（プレビューでは図は省略します）
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