大阪大学
2011年 文系 第2問

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  4. 2011年 - 文系 - 第2問
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実数の組(p,q)に対し，f(x)=(x-p)^2+qとおく．(1)放物線y=f(x)が点(0,1)を通り，しかも直線y=xのx＞0の部分と接するような実数の組(p,q)と接点の座標を求めよ．(2)実数の組(p_1,q_1),(p_2,q_2)に対して，f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1およびf_2(x)=(x-p_2)^2+q_2とおく．実数α,β(　ただし　α＜β)に対してf_1(α)＜f_2(α)　かつ　f_1(β)＜f_2(β)であるならば，区間α≦x≦βにおいて不等式f_1(x)＜f_2(x)がつねに成り立つことを示せ．(3)長方形R:0≦x≦1,0≦y≦2を考える．また，4点P_0(0,1)，P_1(0,0)，P_2(1,1)，P_3(1,0)をこの順に線分で結んで得られる折れ線をLとする．実数の組(p,q)を，放物線y=f(x)と折れ線Lに共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，Rの点のうちで放物線y=f(x)が通過する点全体の集合をTとする．RからTを除いた領域Sを座標平面上に図示し，その面積を求めよ．
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