大阪大学
2011年 文系 第3問

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  4. 2011年 - 文系 - 第3問
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a,b,cを実数とする．ベクトルベクトルv_1=(3,0),ベクトルv_2=(1,2√2)をとり，ベクトルv_3=aベクトルv_1+bベクトルv_2とおく．座標平面上のベクトルベクトルpに対する条件(*)\qquad　(ベクトルv_1・ベクトルp)ベクトルv_1+(ベクトルv_2・ベクトルp)ベクトルv_2+(ベクトルv_3・ベクトルp)ベクトルv_3=cベクトルpを考える．ここでベクトルv_i・ベクトルp(i=1,2,3)はベクトルベクトルv_iとベクトルベクトルpの内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．(1)座標平面上の任意のベクトルベクトルv=(x,y)が，実数s,tを用いてベクトルv=sベクトルv_1+tベクトルv_2と表されることを，sおよびtの各々をx,yの式で表すことによって示せ．(2)ベクトルp=ベクトルv_1とベクトルp=ベクトルv_2の両方が条件(*)をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトルベクトルvこ対して，ベクトルp=ベクトルvが条件(*)をみたすことを示せ．(3)座標平面上のすべてのベクトルベクトルvに対して，ベクトルp=ベクトルvが条件(*)をみたす．このような実数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
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