大阪大学
2011年 理系 第4問

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  4. 2011年 - 理系 - 第4問
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a,b,cを正の定数とし，xの関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cを考える．以下，定数は全て実数とする．(1)定数p,qに対し，次をみたす定数rが存在することを示せ．x≧1　ならば　|px+q|≦rx(2)恒等式(α-β)(α^2+αβ+β^2)=α^3-β^3を用いて，次をみたす定数k,lが存在することを示せ．x≧1　ならば　|\sqrt[3]{f(x)}-x-k|≦l/x(3)すべての自然数nに対して，\sqrt[3]{f(n)}が自然数であるとする．このとき関数f(x)は，自然数の定数mを用いてf(x)=(x+m)^3と表されることを示せ．
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