大阪大学
2011年 理系 第5問

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  4. 2011年 - 理系 - 第5問
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正数rに対して，a_1=0,a_2=rとおき，数列{a_n}を次の漸化式で定める．a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1})(n=2,3,4,・・・)ただしa_nとa_{n-1}から漸化式を用いてa_{n+1}を決める際には硬貨を投げ，表がでたときr_n=r/2，裏がでたときr_n=1/2rとする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．a_nの期待値をp_nとするとき，以下の問いに答えよ．(1)p_3およびp_4を，rを用いて表せ．(2)n≧3のときにp_nを，nとrを用いて表せ．(3)数列{p_n}が収束するような正数rの範囲を求めよ．(4)rが(3)で求めた範囲を動くとき，極限値\lim_{n→∞}p_nの最小値を求めよ．
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