大阪府立大学
2015年 文系 第2問

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  4. 2015年 - 文系 - 第2問
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異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数\perm{n}{r}=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)\qquad　（ただしn≧r≧1）　に関して以下の問いに答えよ．(1)k＞rならば\perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})が成り立つことを示せ．(2)\perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+・・・+\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}が成り立つことを示せ．(3)次の等式がすべての自然数kに対して成り立つような定数A,B,Cを求めよ．k^4=\perm{k+3}{4}+A×\perm{k+2}{3}+B×\perm{k+1}{2}+C×\perm{k}{1}(4)\frac{1^4+2^4+3^4+・・・+n^4}{1+2+3+・・・+n}をnの3次式で表せ．
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