大阪府立大学
2016年 文系 第2問

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  4. 2016年 - 文系 - 第2問
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\begin{mawarikomi}{50mm}{（プレビューでは図は省略します）}右図のような1辺の長さが1の立方体OABC-DEFGに対し，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとおく．0＜t＜1/2となるtに対して，辺AEをt:1-tに内分する点をP，辺CGを2t:1-2tに内分する点をQとする．O，P，Qの定める平面をαとし，平面αと直線BFとの交点をRとすると，四角形OPRQは平行四辺形である．平行四辺形OPRQの面積をS，四角錐DOPRQの体積をVとする．このとき，以下の問いに答えよ．\end{mawarikomi}(1)ベクトルOPとベクトルOQのなす角をθとするとき，cosθをtを用いて表せ．(2)Sをtを用いて表せ．(3)平面αに点Dから垂線DHを下ろす．ベクトルOHをベクトルa,ベクトルc,ベクトルdとtを用いて表せ．(4)Vはtによらず一定であることを示せ．
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