大阪教育大学
2010年 理系 第3問

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  4. 2010年 - 理系 - 第3問
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座標平面上で，行列\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)で表される移動をfとする．0でないすべての実数tに対して，点P(t+1/t,t-1/t)がfにより曲線x^2-y^2=4上に移るとき，次の問に答えよ．(1)a,b,c,dは，(a+b)^2=(c+d)^2,(a-b)^2=(c-d)^2,(a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2を満たすことを示せ．(2)a,b,c,dは，a^2-c^2=d^2-b^2=1,ab=cdを満たすことを示せ．(3)\biggl(\begin{array}{c}X\\Y\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\biggr)とするとき，X^2-Y^2=x^2-y^2となることを示せ．(4)点Qが直線y=x上にあるとき，f(Q)は直線y=xまたは直線y=-x上にあることを示せ．
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