大阪教育大学
2012年 理系 第4問

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  4. 2012年 - 理系 - 第4問
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Aを実数を成分とする行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})とし，任意の実数xに対して，行列(xE-A)を考える．ただし，Eは2×2の単位行列とする．相異なる実数α,βに対して，行列(αE-A)，(βE-A)は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．(1)α+β=a+d,αβ=ad-bcであることを示せ．また，x≠α,x≠βのとき，(xE-A)は逆行列を持つことを示せ．(2)x≠α,x≠βのとき，(xE-A)の逆行列の(i,j)成分をa_{ij}(x),(i=1,2\;;\;j=1,2)と表し，b_{ij}=\lim_{x→α}x^2(x-α)a_{ij}(x)+\lim_{x→β}x^2(x-β)a_{ij}(x)とする．このとき，行列(\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}\end{array})をAを用いて表せ．
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