大阪市立大学
2012年 理系 第4問

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  4. 2012年 - 理系 - 第4問
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|a^2-2b^2|=1をみたす整数a,bによって，(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})と表される2次の正方行列全体の集合をUとする．このとき，Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})に対して，f(A)=a+√2bとおく．次の問いに答えよ．(1)二つの行列AとBがUに属するならば，積ABもUに属することを示し，さらにf(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ．(2)Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})について，f(A)≧1ならば，-1≦a-√2b≦1が成り立つことを示せ．(3)Uに属する行列Aについて，1≦f(A)＜1+√2ならば，A=(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array})であることを示せ．(4)Uに属する行列Aについて，1+√2≦f(A)＜(1+√2)^2ならば，A=(\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array})であることを示せ．
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