福岡教育大学
2012年 初等教育 第3問

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  4. 2012年 - 初等教育 - 第3問
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a,bを実数とし，S=(\begin{array}{cc}a&0\0&b\end{array}),O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とする．2次正方行列NがN^2=O,SN=NSをみたすとき，次の問いに答えよ．(1)a=bまたはN=Oであることを示せ．(2)nは2以上の自然数とする．このとき，(S+N)^n=S^n+nS^{n-1}Nが成り立つことを示せ．(3)nは2以上の自然数とする．このとき，(S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}Nが成り立つことを示せ．(4)N=(\begin{array}{cc}0&1\0&0\end{array})のとき，2以上の自然数nに対して，(S+SN+N)^nを求めよ．
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