大阪薬科大学薬学部 2015年問題3

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$次の問いに答えなさい．(1)「自然数mを4で割ったときの余りがrであるならば，m(m+1)を4で割ったときの余りはr(3-r)と等しい」ことをr=0,1,2,3のそれぞれの場合について[う]で示しなさい．ただし，自然数mが整数q,rを用いてm=4q+r(0≦r＜4)と表されるとき，rを，mを4で割ったときの余りという．(2)nを自然数とする．数列{a_n}は，初項a_1が2，公差が2の等差数列であり，数列{b_n}は次の条件b_1=1,b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{2}(n=1,2,3,・・・)で定められている．(i)一般項a_n,b_nは，nを用いて表すとそれぞれa_n=[I]，b_n=[J]である．(ii)2つの集合A,BをA={a_n\;|\;n　は　39　以下の自然数　},B={b_n\;|\;n　は　12　以下の自然数　}とする．このとき，AとBの共通部分A∩Bの要素の個数をsとすると，s=[K]である．(iii)tを自然数の定数とする．2つの集合C,DをC={a_n\;|\;n　は　100　以下の自然数　},D={b_n\;|\;n　は　t　以下の自然数　}とする．このとき，CとDの和集合C∪Dの要素の個数が111であるならば，tの値はt=[L]である．$