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行列A=(\begin{array}{cc}a&b\b&c\end{array})に対して,ベクトルベクトルu=(p,q),ベクトルv=(r,s)は|ベクトルu|=|ベクトルv|=1,A(\begin{array}{c}p\q\end{array})=α(\begin{array}{c}p\q\end{array}),A(\begin{array}{c}r\s\end{array})=β(\begin{array}{c}r\s\end{array})を満たすとする.ただし,α,βは相異なる実数である.このとき,次の問に答えよ.(1)ベクトルベクトルu,ベクトルvは直交することを示せ.(2)行列X=(\begin{array}{cc}p&r\q&s\end{array})は逆行列をもつことを示せ.(3)(2)のXに対して,AX=X(\begin{array}{cc}α&0\0&β\end{array})となることを示せ.(4)自然数nに対して,A^n=(\begin{array}{cc}f_n&g_n\h_n&k_n\end{array})とする.このとき,f_n+k_nをα,β,nを用いて表せ.
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