埼玉大学
2013年 理学部 第3問

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  4. 2013年 - 理学部 - 第3問
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関数f(x)=xe^{-x}について，実数a,bは次の条件を満たすものとする．(A)∫_0^1f(x)dx=f(a)(0＜a＜1),(B)f(1)-f(0)=f´(b)(0＜b＜1)また，点(0,0)，(a,e^a)を通る直線をℓ_1とし，点(1,0)，(b,e^b)を通る直線をℓ_2とする．(1)(A)，(B)を利用して，ℓ_1,ℓ_2の方程式をa,bを用いずに表せ．(2)ℓ_1とℓ_2の交点を求めよ．さらに，曲線y=e^x上の点(1,e)における接線と直線ℓ_2の交点を求めよ．(3)次の不等式が成り立つことを示せ．a＜\frac{e-2}{e-1}＜b＜1/2ただし，必要ならばe=2.718・・・,log(e-1)=0.541・・・を用いてよい．
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