埼玉大学
2014年 教育・経済学部 第4問

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  4. 2014年 - 教育・経済学部 - 第4問
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関数f_0(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，f_4(x)は，n=0,1,2,3に対して，f_n(0)が0に一致しないときか一致するときかという場合に応じてf_{n+1}(x)をf_n(x)から定める関係式f_{n+1}(x)={\begin{array}{ll}d/dxf_n(x)&(f_n(0)≠0)\\∫_0^xf_n(t)dt+1&(f_n(0)=0)\end{array}.をみたしているとする．(1)f_0(x)=xのとき，f_4(x)を求めよ．(2)f_1(x)=0ならば，f_0(x)は定数であることを証明せよ．(3)f_2(x)=0ならば，f_0(x)=ax+b（a,bは定数）と表されることを証明せよ．
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