札幌医科大学
2015年 医学部 第2問

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  4. 2015年 - 医学部 - 第2問
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pを0≦p≦1をみたす実数とする．1個の白玉と3個の赤玉が入っている袋があり，この袋から1個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を1個加えて袋に戻す試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は\begin{itemize}確率pで取り出した玉と同じ色確率1-pで取り出した玉と異なる色\end{itemize}とする．例えば，p=1の場合，第1回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第1回目の試行が終わったときには，袋の中に1個の白玉と4個の赤玉が入っている．第n回目の試行で白玉が取り出される確率をq_nとする．(1)第n回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉がn+1回目の試行で取り出される確率をn,p,q_nを用いて表せ．(2)q_{n+1}をn,p,q_nを用いて表せ．ただしn+1回目の試行において，n回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，n+1回目に白玉を取り出す条件つき確率がq_nと等しいことを用いてよい．(3)r_n=q_n-1/2とおくとき，r_{n+1}をn,p,r_nを用いて表せ．(4)p=0，p=1/2，p=1のときのq_nをそれぞれnを用いて表せ．
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