西南学院大学
2017年 神学・経済 第4問
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![正の整数aとbの最大公約数は，数列{a_n}，{b_n}を使って以下のように求めることができる．\begin{array}{l}a_1=a,b_1=b\phantom{2/2}\a_{n+1}={\begin{array}{ll}b_n&(b_n≠0 のとき )\a_n&(b_n=0 のとき )\end{array}.\phantom{\huge\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}\b_{n+1}={\begin{array}{ll}a_n を b_n で割った余り &(b_n≠0 のとき )\b_n&(b_n=0 のとき )\end{array}.\end{array}a_nをb_nで割った商をq_nとし，Nはb_N=0を満たす最小の自然数とする．このとき，a_Nがaとbの最大公約数となる．(1)a=81，b=63のとき，a_3=[ツテ]，b_3=[ト]，N=[ナ]である．(2)81と63の最大公約数は[ニ]である．(3)以上の計算により，\begin{array}{l}81=63q_1+b_k\63=b_kq_2+9\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}という関係が成り立つ．このとき，k=[ヌ]である．この2つの式からb_kを消去することで，不定方程式81x+63y=9を満たす整数x,yの組のうち，-10＜x＜4となるものは，x=[ネノ]，y=[ハ]であることがわかる．](./thumb/695/921/2017_4.png?1)
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