滋賀大学
2013年 教育・経済学部 第4問

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  4. 2013年 - 教育・経済学部 - 第4問
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△O_1A_1B_1において辺A_1B_1，B_1O_1，O_1A_1の中点をそれぞれO_2，A_2，B_2とする．次に，△O_2A_2B_2において辺A_2B_2，B_2O_2，O_2A_2の中点をそれぞれO_3，A_3，B_3とする．これをくり返して，△O_nA_nB_nにおいて辺A_nB_n，B_nO_n，O_nA_nの中点をそれぞれO_{n+1}，A_{n+1}，B_{n+1}とする．ただし，n=1,2,3,・・・である．また，\overrightarrow{O_1A_1}=ベクトルa，\overrightarrow{O_1B_1}=ベクトルb，|ベクトルa|=3，|ベクトルb|=√6，ベクトルa・ベクトルb=3/2である．このとき，次の問いに答えよ．(1)△O_1A_1B_1の重心をGとするとき，|ベクトルGO_1|，|ベクトルGA_1|，|ベクトルGB_1|の値を求めよ．(2)△O_nA_nB_nの重心がGであることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．(3)△O_nA_nB_nがGを中心とする半径10^{-4}の円の内部に含まれる最小のnの値を求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
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